Suotimen analyysi

Tänään käytiin kappale 4 loppuun, sekä kappaleen 5 alku pintapuolisesti.

Kappaleessa 4 pääosassa olivat IIR-suotimen siirtofunktion laskenta "näppärästi" sekä stabiilisuusehto. Molemmat asiat käsiteltiin ratkaisemalla taululla tentin 05/2011 tehtävä 3. Tehtävässä ratkaistaan ensin siirtofunktio H(z) yhtälöstä

y(n) = -1/2y(n-1) -1/8y(n-2)  + x(n) - 2x(n-1) + x(n-2)

Prujun esimerkkien mukaisesti tästä voidaan ratkaista H(z):

H(z) = (z^2 - 2z + 1) / (z^2 +1/2z + 1/8).

Tästä voidaan ratkaista osoittajan ja nimittäjän nollakohdat, joista saadaan oheisen kuvan kaltainen napa-nollakuvio (komento Matlabissa: zplane([1, -2, 1], [1, 1/2, 1/8])).

Yo. kuvasta voidaan päätellä suotimen olevan stabiili (miten?)

Toisella tunnilla tarkasteltiin suotimen suunnittelua annetuista kriteereistä lähtien. Suunnittelukriteerit ovat kahtalaiset: suotimen taajuusvasteen määräämiseksi pitää tietää millainen vaihevaste halutaan ja millainen amplitudivaste halutaan.

Vaihevasteen osalta vaaditaan että kaikkien taajuuksien tulee viivästyä yhtä paljon. Tämä toteutuu jos vaihevaste on lineaarinen. Yksinkertaisimmissa tapauksissa vaihevasteen lauseke voi olla siis esimerkiksi muotoa -2w, joka taatusti on lineaarinen. Matlabissa tällainen kuvaaja saadaan esim. komennoilla:

>> [H,W] = freqz([1, 1, 1]);
>> plot(H);
>> grid on

Freqz-funktiosta saa siis ulos taajuusvastefunktion arvoja vektorissa H. Vektorissa on lueteltu taajuusvasteen kompleksiset lukuarvon 512:ssa pisteessä taajuusakselilla. 

Vaihevasteen derivaatasta käyteään nimeä ryhmäviive, ja se ilmaisee suoraan eri taajuuksille tulevan viiveen näytteinä (miinusmerkkisenä). Lopuksi todettiin, että vaihevaste on aina lineaarinen, jos impulssivasteen termit ovat symmetrisesti keskipisteen suhteen.

Amplitudivaste täytyisi saada päästökaistalla ykköseksi ja estokaistalla nollaksi. Käytännössä tämä ei ole mahdollista, vaan suotimelle täytyy antaa hieman toleranssia ja sallia tietty määrä värähtelyä molemmilla kaistoilla. Lisäksi kaistojen väliin täytyy sallia "don't care" -alue, jossa amplitudivaste saa olla mitä vain.

Prujussa ratkaistaan mikä impulssivaste toteuttaisi ideaalisen amplitudivasteen (arvot vain nollaa tai ykköstä). Osoittautuu että impulssivasteen muoto on tuttu sinc-funktio, mutta sen pituus on ääretön. Tämän vuoksi suotimesta ei saataisi ainuttakaan vastearvoa koskaan, vaan laskentaa tarvittaisiin äärettömän paljon.

Tästä ongelmasta päästään katkaisemalla impulssivaste, mutta tämä luonnollisesti vaikuttaa amplitudivasteeseen. Todettiin, että suoralla katkaisulla ei estokaistan värähtelyä saada millään alle n. 21 desibelin, ja päästökaistallakin suurin heitto on luokkaa 0.7 dB. Ratkaisu tähän on käyttää ikkunointia, eli kertoa katkaistu impulssivaste jollain ikkunafunktiolla. Näin voidaan päästä parempiin vaimennusominaisuuksiin.