Ensimmäisellä tunnilla opiskeltiin suodinsuunnittelua. Jos tiedetään haluttu taajuusvaste, voidaan sitä vastaava impulssivaste ratkaista käänteisellä diskreettiaikaisella Fourier-muunnoksella (jos integraali vaan saadaan ratkeamaan). Valmiit ratkaisut annetaan prujussa neljälle vastetyypille: alipäästö-, ylipäästö-, kaistanpäästö-, sekä kaistanestosuotimelle. Näistähän tosin voidaan kolme viimeistä järkeillä pelkän alipäästösuotimen avulla. Esimerkiksi ylipäästösuodin on mahdollista esittää identiteettisuotimen ja alipäästösuotimen avulla:
hyli(n) = delta(n) - hali(n)
tai toisin sanoen
(korkeat taajuudet) = (kaikki taajuudet) - (matalat taajuudet).
Ideaalisen suotimen impulssivasteen pituus on ääretön, eikä sitä voi käytännössä toteuttaa. Näin ollen impulssivaste on katkaistava, mistä seuraa vääristymä amplitudivasteeseen. Matlab-testeillä havaittiin, että tätä ei voi kompensoida esim. kertoimia lisäämällä, vaan on käytettävä ikkunaa joka pehmentää katkaisun vaikutusta. Ikkunoita on lueteltu esim. sivun 84 taulukossa, ja mitä paremmat vaimennusominaisuudet niillä on, sitä leveämpi siirtymakaistasta tulee. Onneksi tätä voidaan kuitenkin kompensoida kertoimia lisäämällä.
Luennon lopuksi käytiin taululla esimerkki ikkunamenetelmän käytöstä vuoden 2011 toukokuun tentissä.
Luentomonisteessa on noin puolen pisteen arvoinen virhe sivulla 87. Tuon sivun tehtävässä N = 53, mutta sivun keskellä olevassa impulssivasteen ht(n) kaavassa on mystinen luku 85. Tämän kuuluisi olla 53.
Luennon lopuksi demottiin tamperelaisen Visy Oy:n kehittämää rekisterikilven tunnistusohjelmistoa, joka on käytössä mm. raja-asemilla, satamissa ja tehtaissa ympäri maailmaa.
maanantai 29. huhtikuuta 2013
keskiviikko 24. huhtikuuta 2013
Suotimen analyysi
Tänään käytiin kappale 4 loppuun, sekä kappaleen 5 alku pintapuolisesti.
Kappaleessa 4 pääosassa olivat IIR-suotimen siirtofunktion laskenta "näppärästi" sekä stabiilisuusehto. Molemmat asiat käsiteltiin ratkaisemalla taululla tentin 05/2011 tehtävä 3. Tehtävässä ratkaistaan ensin siirtofunktio H(z) yhtälöstä
y(n) = -1/2y(n-1) -1/8y(n-2) + x(n) - 2x(n-1) + x(n-2)
Prujun esimerkkien mukaisesti tästä voidaan ratkaista H(z):
H(z) = (z^2 - 2z + 1) / (z^2 +1/2z + 1/8).
Tästä voidaan ratkaista osoittajan ja nimittäjän nollakohdat, joista saadaan oheisen kuvan kaltainen napa-nollakuvio (komento Matlabissa: zplane([1, -2, 1], [1, 1/2, 1/8])).
Toisella tunnilla tarkasteltiin suotimen suunnittelua annetuista kriteereistä lähtien. Suunnittelukriteerit ovat kahtalaiset: suotimen taajuusvasteen määräämiseksi pitää tietää millainen vaihevaste halutaan ja millainen amplitudivaste halutaan.
Vaihevasteen osalta vaaditaan että kaikkien taajuuksien tulee viivästyä yhtä paljon. Tämä toteutuu jos vaihevaste on lineaarinen. Yksinkertaisimmissa tapauksissa vaihevasteen lauseke voi olla siis esimerkiksi muotoa -2w, joka taatusti on lineaarinen. Matlabissa tällainen kuvaaja saadaan esim. komennoilla:
>> [H,W] = freqz([1, 1, 1]);
>> plot(H);
>> grid on
Freqz-funktiosta saa siis ulos taajuusvastefunktion arvoja vektorissa H. Vektorissa on lueteltu taajuusvasteen kompleksiset lukuarvon 512:ssa pisteessä taajuusakselilla.
Amplitudivaste täytyisi saada päästökaistalla ykköseksi ja estokaistalla nollaksi. Käytännössä tämä ei ole mahdollista, vaan suotimelle täytyy antaa hieman toleranssia ja sallia tietty määrä värähtelyä molemmilla kaistoilla. Lisäksi kaistojen väliin täytyy sallia "don't care" -alue, jossa amplitudivaste saa olla mitä vain.
Prujussa ratkaistaan mikä impulssivaste toteuttaisi ideaalisen amplitudivasteen (arvot vain nollaa tai ykköstä). Osoittautuu että impulssivasteen muoto on tuttu sinc-funktio, mutta sen pituus on ääretön. Tämän vuoksi suotimesta ei saataisi ainuttakaan vastearvoa koskaan, vaan laskentaa tarvittaisiin äärettömän paljon.
Tästä ongelmasta päästään katkaisemalla impulssivaste, mutta tämä luonnollisesti vaikuttaa amplitudivasteeseen. Todettiin, että suoralla katkaisulla ei estokaistan värähtelyä saada millään alle n. 21 desibelin, ja päästökaistallakin suurin heitto on luokkaa 0.7 dB. Ratkaisu tähän on käyttää ikkunointia, eli kertoa katkaistu impulssivaste jollain ikkunafunktiolla. Näin voidaan päästä parempiin vaimennusominaisuuksiin.
Kappaleessa 4 pääosassa olivat IIR-suotimen siirtofunktion laskenta "näppärästi" sekä stabiilisuusehto. Molemmat asiat käsiteltiin ratkaisemalla taululla tentin 05/2011 tehtävä 3. Tehtävässä ratkaistaan ensin siirtofunktio H(z) yhtälöstä
y(n) = -1/2y(n-1) -1/8y(n-2) + x(n) - 2x(n-1) + x(n-2)
Prujun esimerkkien mukaisesti tästä voidaan ratkaista H(z):
H(z) = (z^2 - 2z + 1) / (z^2 +1/2z + 1/8).
Tästä voidaan ratkaista osoittajan ja nimittäjän nollakohdat, joista saadaan oheisen kuvan kaltainen napa-nollakuvio (komento Matlabissa: zplane([1, -2, 1], [1, 1/2, 1/8])).
Yo. kuvasta voidaan päätellä suotimen olevan stabiili (miten?)
Vaihevasteen osalta vaaditaan että kaikkien taajuuksien tulee viivästyä yhtä paljon. Tämä toteutuu jos vaihevaste on lineaarinen. Yksinkertaisimmissa tapauksissa vaihevasteen lauseke voi olla siis esimerkiksi muotoa -2w, joka taatusti on lineaarinen. Matlabissa tällainen kuvaaja saadaan esim. komennoilla:
>> [H,W] = freqz([1, 1, 1]);
>> plot(H);
>> grid on
Freqz-funktiosta saa siis ulos taajuusvastefunktion arvoja vektorissa H. Vektorissa on lueteltu taajuusvasteen kompleksiset lukuarvon 512:ssa pisteessä taajuusakselilla.
Vaihevasteen derivaatasta käyteään nimeä ryhmäviive, ja se ilmaisee suoraan eri taajuuksille tulevan viiveen näytteinä (miinusmerkkisenä). Lopuksi todettiin, että vaihevaste on aina lineaarinen, jos impulssivasteen termit ovat symmetrisesti keskipisteen suhteen.
Amplitudivaste täytyisi saada päästökaistalla ykköseksi ja estokaistalla nollaksi. Käytännössä tämä ei ole mahdollista, vaan suotimelle täytyy antaa hieman toleranssia ja sallia tietty määrä värähtelyä molemmilla kaistoilla. Lisäksi kaistojen väliin täytyy sallia "don't care" -alue, jossa amplitudivaste saa olla mitä vain.
Prujussa ratkaistaan mikä impulssivaste toteuttaisi ideaalisen amplitudivasteen (arvot vain nollaa tai ykköstä). Osoittautuu että impulssivasteen muoto on tuttu sinc-funktio, mutta sen pituus on ääretön. Tämän vuoksi suotimesta ei saataisi ainuttakaan vastearvoa koskaan, vaan laskentaa tarvittaisiin äärettömän paljon.
Tästä ongelmasta päästään katkaisemalla impulssivaste, mutta tämä luonnollisesti vaikuttaa amplitudivasteeseen. Todettiin, että suoralla katkaisulla ei estokaistan värähtelyä saada millään alle n. 21 desibelin, ja päästökaistallakin suurin heitto on luokkaa 0.7 dB. Ratkaisu tähän on käyttää ikkunointia, eli kertoa katkaistu impulssivaste jollain ikkunafunktiolla. Näin voidaan päästä parempiin vaimennusominaisuuksiin.
keskiviikko 17. huhtikuuta 2013
Z-muunnos, napa-nollakuvio sekä taajuusvaste
Tänään käsiteltiin kappaletta 4. Tämän ja viime viikon tavoite oli siis oppia analysoimaan annetun suotimen toiminta. Ensi viikolla käännetään ongelma toisin päin ja siirrytään suotimen synteesiin: kuinka suunnitellaan suotimen impulssivaste niin että se täyttää annetut taajuusvaatimukset.
Kaikki lähtee liikkeelle konvoluution ja z-muunnoksen yhteydestä: konvoluutio muuttuu kertolaskuksi z-muunnoksessa. Jos siis suodatus noudattaa yhtälöä
y(n) = h(n) * x(n),
on sama yhtälö voimassa myös z-tasossa:
Y(z) = H(z) X(z)
Tällöin impulssivasteen h(n) muunnoksen tuloksesta käytetään nimeä siirtofunktio. Siirtofunktio on rationaalifunktio, jonka osoittajassa ja nimittäjässä on polynomi. Kun tämä lauseke tiedetään, saadaan Fourier-muunnos sijoittamalla z = exp(iw), jolloin herätteen ja vasteen välinen suhde muuttuu muotoon:
Kaikki lähtee liikkeelle konvoluution ja z-muunnoksen yhteydestä: konvoluutio muuttuu kertolaskuksi z-muunnoksessa. Jos siis suodatus noudattaa yhtälöä
y(n) = h(n) * x(n),
on sama yhtälö voimassa myös z-tasossa:
Y(z) = H(z) X(z)
Tällöin impulssivasteen h(n) muunnoksen tuloksesta käytetään nimeä siirtofunktio. Siirtofunktio on rationaalifunktio, jonka osoittajassa ja nimittäjässä on polynomi. Kun tämä lauseke tiedetään, saadaan Fourier-muunnos sijoittamalla z = exp(iw), jolloin herätteen ja vasteen välinen suhde muuttuu muotoon:
Y(exp(iw)) = H(exp(iw)) X(exp(iw))
(eli vasteen taajuudet = taajuusvaste * herätteen taajuudet).
Lauseke H(exp(iw)) on siis nimeltään taajuusvaste, ja siihen menee sisään reaaliluku w (taajuus josta ollaan kiinnostuneita), ja ulos tulee kompleksiluku. Tämän kompleksiluvun itseisarvo kertoo kuinka suuri vahvistus suotimella on kyseisellä taajuudella.
Suotimen analyysi käytiin läpi monisteen kaavan (4.3) suotimella. Ensin siitä selvitetään impulssivaste, sitten siirtofunktio ja lopuksi taajuusvaste. Taajuusvaste on kompleksifunktio, joten sitä ei voida sellaisenaan piirtää 2-ulotteiseen koordinaatistoon. Näin ollen piirretään kaksi kuvaajaa: funktion itseisarvon kuvaaja sekä sen vaihekulman kuvaaja. Näistä edellinen kertoo kuinka paljon eri taajuuksien amplitudit muuttuvat suodatuksessa ja jälkimmäinen paljonko ne viivästyvät suodatuksessa. Amplitudivaste on näistä mielenkiintoisempi, koska sen avulla taajuuksia saadaan esim. poistettua yksinkertaisesti huolehtimalla että amplitudivaste ko. taajuudella on nolla.Vaihevaste puolestaan kertoo paljonko eri taajuudet viivästyvät suodatettaessa.
Amplitudivastetta tarkasteltaessa on kätevämpi käyttää desibeliasteikkoa, joka on logaritminen. Logaritmi tekee kertolaskusta yhteenlaskua, ja korostaa lähellä nollaa olevia eroja, jotka molemmat ovat meille käteviä ominaisuuksia.
Suotimen analyysi käytiin läpi monisteen kaavan (4.3) suotimella. Ensin siitä selvitetään impulssivaste, sitten siirtofunktio ja lopuksi taajuusvaste. Taajuusvaste on kompleksifunktio, joten sitä ei voida sellaisenaan piirtää 2-ulotteiseen koordinaatistoon. Näin ollen piirretään kaksi kuvaajaa: funktion itseisarvon kuvaaja sekä sen vaihekulman kuvaaja. Näistä edellinen kertoo kuinka paljon eri taajuuksien amplitudit muuttuvat suodatuksessa ja jälkimmäinen paljonko ne viivästyvät suodatuksessa. Amplitudivaste on näistä mielenkiintoisempi, koska sen avulla taajuuksia saadaan esim. poistettua yksinkertaisesti huolehtimalla että amplitudivaste ko. taajuudella on nolla.Vaihevaste puolestaan kertoo paljonko eri taajuudet viivästyvät suodatettaessa.
Amplitudivastetta tarkasteltaessa on kätevämpi käyttää desibeliasteikkoa, joka on logaritminen. Logaritmi tekee kertolaskusta yhteenlaskua, ja korostaa lähellä nollaa olevia eroja, jotka molemmat ovat meille käteviä ominaisuuksia.
keskiviikko 10. huhtikuuta 2013
FFT ja sen sovelluksia
Tänään tarkasteltiin Fourier muunnoksen ominaisuuksia, sovelluksia sekä nopeaa toteutusta.
Luennon aluksi esiteltiin alkeellinen menetelmä puheen tunnistukseen. Kirjan Elements of statistical learning kappaleessa 5.2.3 opetetaan tietokone erottelemaan kaksi vokaalia niiden Fourier-muunnosten perusteella. Menetelmä on nimeltään logistinen regressio, joka monimutkaisista kaavoista huolimatta on varsin yksinkertainen toteuttaa: menetelmä etsii kertoimet kullekin Fourier-muunnoksen taajuudelle, ja laskee tulokset yhteen. Jos luku on positiivinen, tulkitaan äänne ä-kirjaimeksi, muutoin a-kirjaimeksi.
Esimerkki kuvaa hyvin tämän päivän signaalinkäsittelyalgoritmia: perusmenetelmiä (Fourier-muunnos, konvoluutio, jne.) käytetään piirregeneraattoreina, jotka tuottavat hieman parempaa raakadataa kuin suora mittaussignaali (esim. taajuustietoa eikä raakaa mittausdataa). Laskettujen piirteiden perusteella sitten nostetaan tiedon abstraktiotasoa edelleen. Esimerkiksi äänteen tunnistuksessa hierarkia on esimerkiksi seuraava:
48000 aikatason näytettä -> 256 taajuustason kerrointa -> 1 bitti, joka kertoo kumpi äänne on kyseessä
Toisena esimerkkinä mainitsin tamperelaisen Visy Oy:n, jossa olen työskennellyt kymmenisen vuotta sitten automaattisen rekisterikilven tunnistuksen parissa. Tässäkin suuresta määrästä matalan tason pikselitietoa päätellään pieni määrä sovellukselle olennaista tietoa (merkkijono ABC-123).
Tämän jälkeen siirryttiin tarkastelemaan Fourier-muunnoksen ominaisuuksia. Ominaisuuksista tutustuttiin lähemmin siirtoon ajassa (esim. laske signaalin x(n+20) muunnos, kun tiedetään x(n):n muunnos) sekä konvoluution muunnokseen (DFT muuntaa konvoluution kertolaskuksi, eli x(n)*y(n) -> X(n)Y(n)). Tämä on perustana mm. dekonvoluutiolle joka on konvoluutiolle käänteinen operaatio. Menetelmää käytettiin mm. Hubble-teleskoopin alkuaikoina, jolloin yhdessä peilissä olleen hiontavirheen vuoksikuvat olivat sumuisia. Kuvantamisprosessia voidaan nimittäin mallintaa (kaksilulotteisella) konvoluutiolla
y(n,m) = h(n,m) * x(n,m),
missä x on todellinen näkymä, y on havaittu sumuinen kuva, ja h on linssin impulssivaste (nk. point spread function; PSF). Yhtälössä y ja h ovat tunnettuja, ja tehtävänä on ratkaista x. Ratkaisu löytyy taajuustasossa, koska
Y(n,m) = H(n,m) X(n,m),
joten (Matlabin syntaksilla ilmaistuna):
x(n,m) = ifft (Y(n,m) ./ H(n,m)).
Toisena esimerkkinä mainittiin kappaleen 6 esimerkki kameran liikkeen aiheuttamasta epäterävyydestä, ja havaittiin terävyyden paranevan yksinkertaisellakin dekonvoluutiolla (arvaamalla).
Dekonvoluutiosta on hyötyä yleisemminkin lineaarisen kanavan aiheuttaman häiriön poistossa. Jos tiedetään signaalin x kulkeneen kanavan h läpi, voidaan vastaanotetusta mittaustuloksesta ypäätellä x, jos meillä on joku käsitys kanavasta h. Esimerkkinä tästä mainittiin langattoman tiedonsiirtokanavan estimointi ja sen aiheuttaman vääristymän kompensointi.
Toinen menetelmän tuottama etu on että Fourier-muunnoksen (käytännössä FFT:n) avulla voidaan laskea konvoluutio kaavasta (Matlabin syntaksilla ilmaistuna):
conv(x,y) = ifft(fft(x) .* fft(y))
Luennon lopuksi käsiteltiin nopeaa Fourier-muunnosta eli FFT:tä, joka on vain nopeampi tapa toteuttaa diskreetti Fourier-muunnos (DFT). FFT perustuu signaalin jakamiseen lyhyempiin pätkiin, jotka muunnetaan jakamalla ne edelleen rekursiivisesti kahtia. Rekursio päättyy, kun muunnoksen pituus on 1, jolloin muunnosta ei tarvitse enää tehdä. 1-ulotteisen vektorin tapauksessa muunnosmatriisi on yksinkertaisesti F = [1], joka tarkoittaa pelkkää ykkösellä kertomista eikä sitä tarvitse tehdä. Lyhyemmistä vektoreista saadaan koostettua pidemmät vektorit kaavoilla (3.3) ja (3.4).
Luennon aluksi esiteltiin alkeellinen menetelmä puheen tunnistukseen. Kirjan Elements of statistical learning kappaleessa 5.2.3 opetetaan tietokone erottelemaan kaksi vokaalia niiden Fourier-muunnosten perusteella. Menetelmä on nimeltään logistinen regressio, joka monimutkaisista kaavoista huolimatta on varsin yksinkertainen toteuttaa: menetelmä etsii kertoimet kullekin Fourier-muunnoksen taajuudelle, ja laskee tulokset yhteen. Jos luku on positiivinen, tulkitaan äänne ä-kirjaimeksi, muutoin a-kirjaimeksi.
Esimerkki kuvaa hyvin tämän päivän signaalinkäsittelyalgoritmia: perusmenetelmiä (Fourier-muunnos, konvoluutio, jne.) käytetään piirregeneraattoreina, jotka tuottavat hieman parempaa raakadataa kuin suora mittaussignaali (esim. taajuustietoa eikä raakaa mittausdataa). Laskettujen piirteiden perusteella sitten nostetaan tiedon abstraktiotasoa edelleen. Esimerkiksi äänteen tunnistuksessa hierarkia on esimerkiksi seuraava:
48000 aikatason näytettä -> 256 taajuustason kerrointa -> 1 bitti, joka kertoo kumpi äänne on kyseessä
Toisena esimerkkinä mainitsin tamperelaisen Visy Oy:n, jossa olen työskennellyt kymmenisen vuotta sitten automaattisen rekisterikilven tunnistuksen parissa. Tässäkin suuresta määrästä matalan tason pikselitietoa päätellään pieni määrä sovellukselle olennaista tietoa (merkkijono ABC-123).
Tämän jälkeen siirryttiin tarkastelemaan Fourier-muunnoksen ominaisuuksia. Ominaisuuksista tutustuttiin lähemmin siirtoon ajassa (esim. laske signaalin x(n+20) muunnos, kun tiedetään x(n):n muunnos) sekä konvoluution muunnokseen (DFT muuntaa konvoluution kertolaskuksi, eli x(n)*y(n) -> X(n)Y(n)). Tämä on perustana mm. dekonvoluutiolle joka on konvoluutiolle käänteinen operaatio. Menetelmää käytettiin mm. Hubble-teleskoopin alkuaikoina, jolloin yhdessä peilissä olleen hiontavirheen vuoksikuvat olivat sumuisia. Kuvantamisprosessia voidaan nimittäin mallintaa (kaksilulotteisella) konvoluutiolla
y(n,m) = h(n,m) * x(n,m),
missä x on todellinen näkymä, y on havaittu sumuinen kuva, ja h on linssin impulssivaste (nk. point spread function; PSF). Yhtälössä y ja h ovat tunnettuja, ja tehtävänä on ratkaista x. Ratkaisu löytyy taajuustasossa, koska
Y(n,m) = H(n,m) X(n,m),
joten (Matlabin syntaksilla ilmaistuna):
x(n,m) = ifft (Y(n,m) ./ H(n,m)).
Toisena esimerkkinä mainittiin kappaleen 6 esimerkki kameran liikkeen aiheuttamasta epäterävyydestä, ja havaittiin terävyyden paranevan yksinkertaisellakin dekonvoluutiolla (arvaamalla).
Dekonvoluutiosta on hyötyä yleisemminkin lineaarisen kanavan aiheuttaman häiriön poistossa. Jos tiedetään signaalin x kulkeneen kanavan h läpi, voidaan vastaanotetusta mittaustuloksesta ypäätellä x, jos meillä on joku käsitys kanavasta h. Esimerkkinä tästä mainittiin langattoman tiedonsiirtokanavan estimointi ja sen aiheuttaman vääristymän kompensointi.
Toinen menetelmän tuottama etu on että Fourier-muunnoksen (käytännössä FFT:n) avulla voidaan laskea konvoluutio kaavasta (Matlabin syntaksilla ilmaistuna):
conv(x,y) = ifft(fft(x) .* fft(y))
Luennon lopuksi käsiteltiin nopeaa Fourier-muunnosta eli FFT:tä, joka on vain nopeampi tapa toteuttaa diskreetti Fourier-muunnos (DFT). FFT perustuu signaalin jakamiseen lyhyempiin pätkiin, jotka muunnetaan jakamalla ne edelleen rekursiivisesti kahtia. Rekursio päättyy, kun muunnoksen pituus on 1, jolloin muunnosta ei tarvitse enää tehdä. 1-ulotteisen vektorin tapauksessa muunnosmatriisi on yksinkertaisesti F = [1], joka tarkoittaa pelkkää ykkösellä kertomista eikä sitä tarvitse tehdä. Lyhyemmistä vektoreista saadaan koostettua pidemmät vektorit kaavoilla (3.3) ja (3.4).
Tilaa:
Kommentit (Atom)